Question

8．已知点A（2，0），椭圆E：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F是椭圆E的上焦点，直线AF的斜率为$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，O为坐标原点．
（1）求E的方程；
（2）设过点A的动直线l与E相交于点P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和直线的斜率公式，以及a，b，c的关系，解方程可得椭圆方程；
（2）设l的方程为x=my+2，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，判别式大于0，运用三角形的面积公式，由基本不等式可得最大值，即可得到m，进而得到直线方程．

解答 解：（1）由e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得：
${e^2}=\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{3}{4}$，即$\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}$，
设F（0，c），则$-\frac{c}{2}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$c=\sqrt{3}$，
又a²-b²=c²=3，
∴a²=4，b²=1，
∴E的方程是$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$；
（2）设l的方程为x=my+2，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+2\\ \frac{y^2}{4}+{x^2}=1.\end{array}\right.$得（4m²+1）y²+16my+12=0，
y₁+y₂=-$\frac{16m}{1+4{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{12}{1+4{m}^{2}}$，
△=（16m）²-4×12×（4m²+1）=16（4m²-3）＞0，
${S_{△OPQ}}=\frac{1}{2}×2×|{{y_1}-{y_2}}|=|{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{{\sqrt{16（4{m^2}-3）}}}{{4{m^2}+1}}=\frac{{4\sqrt{4{m^2}-3}}}{{4{m^2}+1}}$，
令$\sqrt{4{m^2}-3}=t$，则${S_{△OPQ}}=\frac{4t}{{{t^2}+4}}=\frac{4}{{t+\frac{4}{t}}}$，
而$t+\frac{4}{t}≥4$当且仅当t=2，
即$m=±\frac{{\sqrt{7}}}{2}$时等号成立，此时S_△OPQ≤1．
∴当△OPQ的面积最大时，求l的方程为$x=±\frac{{\sqrt{7}}}{2}y+2$，
即$2x±\sqrt{7}y-4=0$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和直线的斜率公式，考查直线方程的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，由韦达定理和三角形的面积公式及基本不等式，考查运算能力，属于中档题．