Question

（2013•南京二模）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，∠AOB=60°，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在

AB

上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，问C应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由．

Answer 1

分析：由题意，得四边形ODCE是平行四边形，连接OC，设OC=r，OD=x，OE=y，可得△OCD中∠ODC=180°-∠AOB=120°．利用余弦定理得r²=x²+y²+xy，再由基本不等式算出x+y≤

2 3

3

r，当且仅当x=y=

3

3

r时等号成立．由此可得当点C取在弧AB的中点时，可使修建的道路CD与CE的总长最大．

解答：解：根据题意，四边形ODCE是平行四边形
因为∠AOB=60°，所以∠ODC=180°-∠AOB=120°
连接OC，设OC=r，OD=x，OE=y
在△OCD中，根据余弦定理得OC²=OD+²DC²-2OD•DCcos120°
即r²=x²+y²+xy
∴（x+y）²=r²+xy≤r²+（

x+y

2

）²．
解之得（x+y）²≤

4

3

r²，可得x+y≤

2 3

3

r，当且仅当x=y=

3

3

r时，等号成立
∴x+y的最大值为

2 3

3

r，此时C为弧AB的中点
答：当点C取在弧AB的中点时，可使修建的道路CD与CE的总长最大．

点评：本题给出圆心角为60度的扇形场地，求修建道路CD与CE的总长最大最大值．着重考查了利用余弦定理解三角形、基本不等式求最值等知识，属于中档题．