Question

【题目】已知函数，

（1）若函数在处的切线与直线垂直，求的值；

（2）讨论在R上的单调性；

（3）对任意，总有成立，求正整数的最大值。

Answer 1

【答案】（1）1；（2）见解析；（3）2

【解析】

（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再结合条件可得；（2）由题意得到，然后根据的符号可得到函数的单调性；（3）将问题转化为不等式对恒成立求解，然后根据得到对恒成立，令，根据导数求出函数最小值所在的范围后可得正整数的最大值．

（1）∵，

∴，

∴．

∵函数在处的切线与直线垂直，

∴，

解得．

（2）∵，

∴．

①当时，恒成立，

∴函数在R上单调递增．

②当时，由，得，

且当时，单调递减；

当时，单调递增．

综上可得，当时，函数在R上单调递增；

当时，在单调递减，在上单调递增．

（3）由得，

整理得，

由题意得“对任意，总有成立”等价于“不等式对任意恒成立”，

∴，

整理得，

∵，且当时，，

∴．

令，

则，且在上单调递增，

∵，

∴存在，使得，

且当时，单调递减；当时，单调递增．

∴，

又，

∴，，

∴，

∴，

又为正整数，

∴，

∴正整数的最大值为2．