Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面，为的中点，是棱的中点，.

（1）证明：平面平面.

（2）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由题可知四边形为平行四边形，得，又平面平面，所以平面，则平面平面得证；

（2）以为坐标原点，以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，算出平面的一个法向量，平面的法向量，运用向量夹角公式即可求出二面角的大小.

（1）证明：∵，，为的中点，

∴四边形为平行四边形，∴.

∵，∴，即.

又∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面.

∵平面，平面平面.

（2）解：由（1）可知，，两两互相垂直，以为坐标原点，以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，.

设平面的一个法向量为，

则

令，得.

取平面的法向量，记二面角为，

则.

由图可知为钝角，所以二面角的大小为.