Question

【题目】已知椭圆的离心率为，其中一个焦点F在直线上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线和直线与椭圆分别相交于点、、、，求的值;

（3）若直线与椭圆交于P，Q两点，试求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）8；

（3）1；

【解析】

（1）根据题意得到椭圆的一个焦点即为直线与轴的交点，从而求得，结合离心率，求得的值，进而求得，得到椭圆的方程；

（2）根据椭圆的定义和椭圆的对称性，得到结果；

（3）将直线方程和椭圆的方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离，利用面积公式写出三角形的面积，利用基本不等式求得最值，注意满足判别式大于零的条件.

（1）椭圆的一个焦点即为直线与轴的交点，所以，

又离心率为则,，所以椭圆方程为；

（2）设椭圆的另一个焦点为, 由已知得:

（3）联立直线与椭圆方程得,，

令，得设方程的两根为，

则，，

由弦长公式得，，点到直线的距离，

当且仅当， 即或时取等号，而或满足，

所以三角形面积的最大值为1.