Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过焦点F的直线交抛物线于M，N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程；
（3）过点的直线交抛物线C：y²=2px（p＞0）于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，求证：直线RQ必过定点．

Answer 1

解：（1）设P（x₀，y₀）为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点，
作PH⊥y轴，垂足为H，连接PF，
∵|PF|=|PH|+1，
∴，
∴p=2，
∴所求抛物线C的方程为y²=4x．
（2）直线RQ必过定点．由（1）得焦点坐标为F（1，0），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN：y=k（x-1）（k＞0），
与y²=4x联立，得
ky²-4y-4k=0，
∴，y₁y₂=-4，
由|MF|=2|NF|，
则y₁=-2y₂，∴，
因此所求的直线方程为．
（3）∵A（-1，0），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
PQ：y=k（x+1），与y²=4x联立得ky²-4y+4k=0，
∴，
∵点P关于x轴的对称点是R，则R（x₁，-y₁），
∴直线RQ的直线为，
即有，
∴（y₂-y₁）（y+y₁）=4x-4x₁，
∴（y₂-y₁）y+y₂y₁-y₁²=4x-4x₁，
∵（y₂-y₁）y=4（x-1），
∴直线RQ必过定点F（1，0）．
分析：（1）设P（x₀，y₀）为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点，作PH⊥y轴，垂足为H，连接PF，由|PF|=|PH|+1，知，由此能求出所求抛物线C的方程．
（2）直线RQ必过定点．由F（1，0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN：y=k（x-1）（k＞0），与y²=4x联立，得ky²-4y-4k=0，由|MF|=2|NF|，能求出所求的直线方程．
（3）由A（-1，0），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ：y=k（x+1），与y²=4x联立得ky²-4y+4k=0，故，由点P关于x轴的对称点是R，知直线RQ的直线为，由此能够证明直线RQ必过定点．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．