如图,直三棱柱,,点M,N分别为和的中点.
(Ⅰ)证明:∥平面;
(Ⅱ)若二面角A为直二面角,求的值.
(Ⅰ)分别取的中点,再连结,得到
,,证得四边形为平行四边形,推出,证得∥平面;
(Ⅱ)。
解析试题分析:(Ⅰ)分别取的中点,再连结,则有
,,所以
则四边形为平行四边形,所以,则∥平面 4分
(Ⅱ)分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系(如图)
设,则,所以平面的一个法向量,平面的一个法向量,
因为二面角A为直二面角,所以,则有 12分
考点:本题主要考查立体几何中的平行关系、角的计算,空间向量的应用。
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用空间向量,省去繁琐的证明,也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想,将空间问题转化成平面问题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱柱
(I)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);
(II)若M为PA的中点,求证:求二面角
(III)求三棱锥的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知四棱锥P-ABCD的直观图(如图(1))及左视图(如图(2)),底面ABCD是边长为2的正方形,平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB。
(1)求证:AD⊥PB;
(2)求异面直线PD与AB所成角的余弦值;
(3)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥面ABC,D、E分别是棱A1B1、AA1的中点,点F在棱AB上,且.
(Ⅰ)求证:EF∥平面BDC1;
(Ⅱ)求二面角E-BC1-D的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,E、F分别在BC、AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使得平面ABEF平面EFDC.
(Ⅰ) 当,是否在折叠后的AD上存在一点,且,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(Ⅱ) 设BE=x,问当x为何值时,三棱锥ACDF的体积有最大值?并求出这个最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图四棱锥E—ABCD中,底面ABCD是平行四边形。∠ABC=45°,BE=BC= EA=EC=6,M为EC中点,平面BCE⊥平面ACE,AE⊥EB
(I)求证:AE⊥BC (II)求四棱锥E—ABCD体积
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