Question

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC＝CA＝AA₁＝2，侧棱AA₁⊥面ABC，D、E分别是棱A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角E－BC₁－D的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）取的中点M，为的中点，又为的中点，∴在三棱柱中，分别为的中点，，且则四边形A₁DBM为平行四边形，，又平面，平面平面（Ⅱ）

解析试题分析：取的中点M，，

为的中点，又为的中点，∴，
在三棱柱中，分别为的中点，
，且，
则四边形A₁DBM为平行四边形，，
，又平面，平面，
平面．  6分
（Ⅱ）连接DM，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，
∴，，．
设面BC₁D的一个法向量为，面BC₁E的一个法向量为，
则由得取，
又由得取，
则，
故二面角E－BC₁－D的余弦值为．  12分
考点：线面平行的判定及二面角求解
点评：利用空间向量法证明线面平行只需证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在面内即可，求二面角时首先找到两面的法向量，求出法向量的夹角，观察图形得到二面角（等于夹角或与夹角互补）