如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.
(1)点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;
(2)求证:无论点E在BC边的何处,都有;
(3)当为何值时,
与平面
所成角的大小为45°.
(1)EF//面PAC (2)因PA⊥底面ABCD,所以DA⊥PA,又DA⊥AB,所以DA⊥面PAB,又DA//CB,所以CB⊥面PAB所以,因为AF⊥PB所以AF⊥面PBC有
(3)
解析试题分析:⑴当E是BC中点时,因F是PB的中点,所以EF为的中位线,
故EF//PC,又因面PAC,
面PAC,所以EF//面PAC 4分
⑵证明:因PA⊥底面ABCD,所以DA⊥PA,又DA⊥AB,所以DA⊥面PAB,
又DA//CB,所以CB⊥面PAB,而面PAB,所以
,
又在等腰三角形PAB中,中线AF⊥PB,PBCB=B,所以AF⊥面PBC.
而PE面PBC,所以无论点E在BC上何处,都有
8分
⑶以A为原点,分别以AD、AB、AP为x\y\z轴建立坐标系,设,
则,
,
,设面PDE的法向量为
,
由,得
,取
,又
,
则由,得
,解得
.
故当时,PA与面PDE成
角 12分
考点:线面平行垂直的判定及线面角的求解
点评:证明线面平行时常借助于已知的中点转化为线线平行,第三问求线面角采用空间向量的方法思路较简单,只需求出直线的方向向量与平面的法向量,代入公式即可
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥面ABC,D、E分别是棱A1B1、AA1的中点,点F在棱AB上,且.
(Ⅰ)求证:EF∥平面BDC1;
(Ⅱ)求二面角E-BC1-D的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设为正方形
的中心,四边形
是平行四边形,且平面
平面
,若
.
(1)求证:平面
.
(2)线段上是否存在一点
,使
平面
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为8,E、F分别为AD1,CD1中点,G、H分别为棱DA,DC上动点,且EH⊥FG.
(1)求GH长的取值范围;
(2)当GH取得最小值时,求证:EH与FG共面;并求出此时EH与FG的交点P到直线的距离.
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