如图,在四棱锥中,底面是矩形,分别为的中点,,且
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值。
(1)以D为坐标原点,射线DA,DC,DP分别为轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系则D(0,0,0),A(,0,0),B(,1,0)(0,1,0)P(0,0,)
所以(,0,),,∵·=0,所以MC⊥BD(2)
解析试题分析:(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,
所以PD⊥DA,PD⊥DC,
在矩形ABCD中,AD⊥DC,
如图,以D为坐标原点,
射线DA,DC,DP分别为
轴、轴、轴
正半轴建立空间直角坐标系 4分
则D(0,0,0),A(,0,0),
B(,1,0)(0,1,0),
P(0,0,) 6分
所以(,0,),, 7分∵·=0,所以MC⊥BD 7分
(2)解:因为ME∥PD,所以ME⊥平面ABCD,ME⊥BD,又BD⊥MC,
所以BD⊥平面MCE,
所以CE⊥BD,又CE⊥PD,所以CE⊥平面PBD, 9分
由已知,所以平面PBD的法向量 10分
M为等腰直角三角形PAD斜边中点,所以DM⊥PA,
又CD⊥平面PAD,AB∥CD,所以AB⊥平面PAD,AB⊥DM,
所以DM⊥平面PAB, 11分
所以平面PAB的法向量(-,0,) 12分
设二面角A—PB—D的平面角为θ,
则.
所以,二面角A—PB—D的余弦值为. 15分
考点:线线垂直的判定与二面角
点评:本题中充分利用DA,DC,DP两两垂直建立空间直角坐标系,将证明两线垂直转化为两直线的法向量垂直,将求二面角转化为求两个平面的法向量的夹角
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
几何体EFG —ABCD的面ABCD,ADGE,DCFG均为矩形,AD=DC=l,AE=。
(I)求证:EF⊥平面GDB;
(Ⅱ)线段DG上是否存在点M使直线BM与平面BEF所成的角为45°,若存在求等¥ 的值;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图是三棱柱的三视图,正(主)视图和俯视图都是矩形,侧(左)视图为等边三角形,为的中点.
(1)求证:∥平面;
(2)设垂直于,且,求点到平面的距离.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ACB=90°,平面PAD⊥平面ABCD,
PA=BC=1,PD=AB=,E、F分别为线段PD和BC的中点.
(Ⅰ) 求证:CE∥平面PAF;
(Ⅱ)在线段BC上是否存在一点G,使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°?若存在,试确定G的位置;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧棱平面,且,为底面对角线的交点,分别为棱的中点
(1)求证://平面;
(2)求证:平面;
(3)求点到平面的距离。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.
(1)点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;
(2)求证:无论点E在BC边的何处,都有;
(3)当为何值时,与平面所成角的大小为45°.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠,使的平面ABD⊥平面CBD,AE⊥平面ABD,且AE=,
(1) 求证:DE⊥AC
(2)求DE与平面BEC所成角的正弦值
(3)直线BE上是否存在一点M,使得CM//平面ADE,若存在,求M的位置,不存在,请说明理由。
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