Question

【题目】已知椭圆:()的离心率为，设直线过椭圆的上顶点和右顶点，坐标原点到直线的距离为.

（1）求椭圆的方程.

（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零的常数?若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）设直线的方程为，由离心率和原点到直线的距离为，可得关于的方程组，解方程组得即可得答案；

（2）依题意可设直线的方程为，，，直线方程代入曲线方程，利用判别式大于0得的范围，利用韦达定理可得与的关系，并假设存在点

使命题成立，利用斜率公式代入坐标进行计算，将问题转化为恒成立问题，即可得答案.

（1）设椭圆半焦距为.根据题意得，椭圆离心率，即，

所以.①

因为直线过椭圆的上顶点和右顶点，

所以设直线的方程为，即.

又由点到直线的距离为，得.②

联立①②解得，.所以椭圆的方程为.

（2）依题意可设直线的方程为，，.联立得.所以，所以.

所以，，

则，.

假设存在定点()，使得直线，的斜率之积为非零常数，

所以.

要使为非零常数，当且仅当解得(负值舍去).

当时，常数为.

所以轴的正半轴上存在定点，使得直线，的斜率之积为常数.