Question

【题目】在如图所示的多面体中，，且，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）分别取的中点，连接，由，得，根据平面平面，得到平面.然后以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得向量的坐标，代入线线角的向量公式求解.

（2）在（1）的坐标系下，分别求得平面和平面的一个法向量为，代入面面角的向量公式求解.

分别取的中点，连接，

因为，所以.

因为平面平面，平面平面，

所以平面.

又因为，且，

所以，且，

则四边形为平行四边形，故，

所以平面.

以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.

由题意可得，

（1）因为，

所以，

则异面直线与所成角的余弦值为.

（2），

设平面的法向量为，

则，即，

令，得.于是.

设平面的法向量为，

则，即，令，得.

于是.

所以.

所以二面角的正弦值为.