Question

【题目】已知函数，其中

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）函数的单调区间与导数的符号相关，而函数的导数为，故可以根据的符号讨论导数的符号，从而得到函数的单调区间.（2）若不等式 在 上有解，那么在上， .但在上的单调性不确定，故需分 三种情况讨论.

解析：（1），

①当时，在上， 在上单调递增；

②当时，在上；在上；所以在上单调递减，在上单调递增.

综上所述，当时， 的单调递增区间为，当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）若在上存在，使得成立，则在上的最小值小于.

①当，即时，由（1）可知在上单调递增， 在上的最小值为，由，可得，

②当，即时，由（1）可知在上单调递减， 在上的最小值为，由，可得 ；

③当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 在上的最小值为，因为，所以，即，即，不满足题意，舍去.

综上所述，实数的取值范围为.