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【题目】设函数.

1)当时,求函数的最大值;

2)令其图象上任意一点处切线的斜率恒成立,求实数的取值范围;

3)当,方程有唯一实数解,求正数的值

【答案】(1)(2)(3)

【解析】

1)对函数进行求导,判断其在单调递增,在单调递减,从而得到最大值为

2)求出函数,则其导数小于等于恒成立,进而求出的取值范围;

3)方程有唯一实数解,设,利用导数研究函数的图象特征,设为方程的唯一解,得到,把方程组转化成,再利用导数研究该方程的根,最后根据根的唯一性,得到的关系,再求出正数的值.

1)依题意,知的定义域为

时,

,解得.

时,,此时单调递增;

时,,此时单调递减.

所以的极大值为,此即为最大值.

2,则有,在上恒成立,所以.

时,取得最大值,所以.

3)因为方程有唯一实数解,所以有唯一实数解,

,则.

因为,所以(舍去),

时,上单调递减,

时,上单调递增,

时,取最小值.

,即

所以

因为,所以

设函数

因为当时,是增函数,所以至多有一解,

,所以方程的解为,即,解得.

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