Question

（2012•宁城县模拟）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M(1，

3

2

)，其离心率为

1

2

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 设直线l的斜率为k，且经过椭圆C的右焦点F，与C交于A，B两点，点P满足

OP

=

OA

+

OB

，试判断是否存在这样的实数k，使点P在椭圆C上，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆离心率为

1

2

，可得3a²=4b²，利用点M(1，

3

2

)在椭圆C上，可得

1

a2

+

9

4b2

=1，由此可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1）与椭圆方程联立，消元，利用

OP

=

OA

+

OB

，确定坐标之间的关系，利用韦达定理，可得P的坐标，设P在椭圆C上，利用椭圆方程，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得e2=

a2-b2

a2

=

1

4

，所以3a²=4b²①
又点M(1，

3

2

)在椭圆C上，所以

1

a2

+

9

4b2

=1②
由①②解之，得a²=4，b²=3．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ） 椭圆C的右焦点F（1，0），设直线l的方程为y=k（x-1）
则由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1.

消y化简整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0------（7分）
设A，B，P点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），则
∵

OP

=

OA

+

OB

∴x0=x1+x2=

8k2

3+4k2

，y0=y1+y2=k(x1+x2)-2k=-

6k

3+4k2

．-------------（9分）
设P在椭圆C上，所以 

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1．
从而

16k4

(3+4k2)2

+

12k2

(3+4k2)2

=1，化简得4k²=3+4k²，无解
所以不存在这样的实数k，使点P在椭圆C上------------------------------------------------（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，确定P的坐标是关键．