Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点．
（1）求三棱锥E-ADF的体积；
（2）求异面直线EF与BC所成的角．

Answer 1

解：（1）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为2，E为线段DD₁的中点．
∴DE⊥平面ADF，且DE=1为三棱锥E-ADF的高
∵F是BD的中点
∴△ADF的面积S=S_△ABD=S_ABCD=1
因此，三棱锥E-ADF的体积为V=×S_△ADF×DE=×1×1=
（2）连接BC₁、BD₁
∵EF是△BDD₁的中位线，
∴EF∥BD₁，可得∠CBD₁（或其补角）就是异面直线EF与BC所成的角．
∵BC⊥平面C₁D₁DC，CD₁?平面C₁D₁DC，
∴Rt△BCD₁中，tan∠CBD₁===
可得∠CBD₁=arctan（锐角）
因此，异面直线EF与BC所成的角等于arctan．
分析：（1）由题意，可得DE=1为三棱锥E-ADF的高，再算出△ADF的面积S，结合锥体体积公式即可算出三棱锥E-ADF的体积；
（2）连接BC₁、BD₁，根据异面直线所成角定义和三角形中位线定理，可得∠CBD₁（或其补角）就是异面直线EF与BC所成的角．然后在Rt△BCD₁中，算出∠CBD₁的正切值，即可得到异面直线EF与BC所成的角等于arctan．
点评：本题在正方体中，求三棱锥的体积并求异面直线所成角，着重考查了异面直线及其所成的角及其求法、棱锥的体积公式等知识，属于基础题．