Question

【题目】设数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn ， 若a1a5=64，S5﹣S3=48．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5ak ， am ， al这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；
（3）设数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=32n+1﹣4n﹣6，且集合 中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等比数列{an}的公比是q，

∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，∴ ，解得a3=8，

又∵S5﹣S3=48，∴ ，解得q=2，

∴ ；

（2）解：（ⅰ）必要性：设5ak，am，al这三项经适当排序后能构成等差数列，

①若25ak=am+al，则102k=2m+2l，∴10=2m﹣k+2l﹣k，∴5=2m﹣k﹣1+2l﹣k﹣1，

∴ ，∴ ．

②若2am=5ak+al，则22m=52k+2l，∴2m+1﹣k﹣2l﹣k=5，左边为偶数，等式不成立，

③若2al=5ak+am，同理也不成立，

综合①②③，得m=k+1，l=k+3，所以必要性成立

（ⅱ）充分性：设m=k+1，l=k+3，

则5ak，am，al这三项为5ak，ak+1，ak+3，即5ak，2ak，8ak，

调整顺序后易知2ak，5ak，8ak成等差数列，

所以充分性也成立．

综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立

（3）解：因为 ，

即 ，①

∴当n≥2时， ，②

则②式两边同乘以2，得 ，③

∴①﹣③，得2bn=4n﹣2，即bn=2n﹣1（n≥2），

又当n=1时， ，即b1=1，适合bn=2n﹣1（n≥2），

∴bn=2n﹣1．…14分

∴ ，∴ ，

∴n=2时， ，即 ；

∴n≥3时， ，此时 单调递减，

又 ， ， ， ，∴ ．

【解析】1、根据等比数列中项的性质得到a 1 a 5 = a 3 2 = 64，得到a3=8，再根据S5﹣S3=a 4+ a 5 =48解得q=2得到等比数列的通项公式。
2、由已知可得先证明必要性，利用an都是整数的性质分别讨论5ak,,am, al不同的排序情况。充分性，适当对5ak,,am, al进行排列可得结论。
3、根据对递推公式的变换求出数列{bn}的通项公式再通过数列{}的通项公式判断该数列的单调性进而确定M的元素即得出的取值范围。