Question

【题目】对于数列 ， ， ， ，若满足 ，则称数列 为“ 数列”．
若存在一个正整数 ，若数列 中存在连续的 项和该数列中另一个连续的 项恰好按次序对应相等，则称数列 是“ 阶可重复数列”，
例如数列 因为 ， ， ， 与 ， ， ， 按次序对应相等，所以数列 是“ 阶可重复数列”．
（I）分别判断下列数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．是否是“ 阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这 项；
（II）若项数为 的数列 一定是 “ 阶可重复数列”，则 的最小值是多少？说明理由；
（III）假设数列 不是“ 阶可重复数列”，若在其最后一项 后再添加一项 或 ，均可 使新数列是“ 阶可重复数列”，且 ，求数列 的最后一项 的值．

Answer 1

【答案】解：（I）

（Ⅱ）因为数列 的每一项只可以是 或 ，所以连续 项共有 种不同的情形．

若 ，则数列 中有 组连续 项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为 的数列 一定是“ 阶可重复数列”；

若 ，数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 不是“ 阶可重复数列”；则 时，均存在不是“ 阶可重复数列”的数列 ．

所以要使数列 一定是“ 阶可重复数列”，则 的最小值是 ．

（III）由于数列 在其最后一项 后再添加一项 或 ，均可使新数列是“ 阶可重复数列”，即在数列 的末项 后再添加一项 或 ，

则存在 ，使得 ， ， ， ， 与 ， ， ， ， 按次序对应相等，或 ， ， ， ， 与 ， ， ， ， 按次序对应相等，如果 ， ， ， 与 ， ， ， 不能按次序对应相等，

那么必有 ， ， ，使得 ， ， ， 、 ， ， ， 与 ， ， ， 按次序对应相等．

此时考虑 ， 和 ，其中必有两个相同，这就导致数列 中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列 是“ 阶可重复数列”，这和题设中数列 不是“ 阶可重复数列”矛盾！

所以 ， ， ， 与 ， ， ， 按次序对应相等，从而

【解析】(1)由题意观察可得该数列是5阶可重复数列。(2)根据题意列验证举即可得出数列 { an } 一定是“ 3 阶可重复数列”，则 m 的最小值是 11。(3)根据题意利用假设法结合已知推导出数列 { an } 是“ 5 阶可重复数列”，这和题设中数列 { an } 不是“ 5 阶可重复数列”矛盾进而得出假设不成立即得结果。