Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣x， ．
（1）求h（x）的最大值；
（2）若关于x的不等式xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，其中e是自然对数的底数，求实数b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为 ，所以 ，

由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，

所以函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞），

所以当x=e时，h（x）取得最大值 ；

（2）因为xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，

即xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，

亦即 对一切x∈（0，+∞）恒成立，

设 ，因为 ，

故（x）在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增，（x）min=（3）=7+ln3，

所以a≤7+ln3．

（3）因为方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，

即lnx﹣x﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，即 恰有一解，

由（1）知，h（x）在x=e时， ，

而函数k（x）=x2﹣2ex+b+1在（0，e]上单调递减，在[e，+∞）上单调递增，

故x=e时，k（x）min=b+1﹣e2，

故方程 =x2﹣2ex+b+1恰有一解当且仅当b+1﹣e2= ，

即b=e2+ ﹣1；

【解析】1、由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，所以函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞）所以当x=e时，h（x）取得最大值 .
2、因为xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，亦即 a ≤ l n x + x + 对一切x∈（0，+∞）恒成立.设 ( x ) = l n x + x + ,求导可得，（x）在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增，（x）min=（3）=7+ln3，所以a≤7+ln3．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的零点是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．