Question

某学科竞赛的预赛考试分为一试和加试两部分测试，且规定只有一试考试达标着才可以进入加试考试，一试考试和
加试考试都达标才算优胜者，从而进入决赛，一试试卷包括三个独立的必做题目，加试包括两个独立的必做题目，若一试考试至少答对两个问题就认定为达标，加试需两个题目都答对才算达标，假设甲同学一试考试中答对每个题的概率均为

2

3

，加试考试中答对每个题的概率都为

1

2

，且各题答题情况均互不影响．
（1）求甲同学成为优胜者，顺利进入决赛的概率； 
（2）设甲同学解答的题目的个数为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）甲同学成为优胜者，说明甲同学一试和加试均达标，由此能求出甲同学成为优胜者，顺利进入决赛的概率．
（2）X的可能取值为3，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答： 解：（1）甲同学成为优胜者，说明甲同学一试和加试均达标，
则其概率为：
p₁=[（

2

3

）³+

C

2 3

(

2

3

)2×

1

3

]×

1

2

×

1

2

=

5

27

．
（2）X的可能取值为3，5，
P（X=3）=(

1

3

)3+

C

2 3

(

1

3

)2×

2

3

=

7

27

，
P（X=5）=（

2

3

）³+C

2 3

(

2

3

)2×

1

3

=

20

27

，
∴X的分布列为：

X	3	5
P	7 27	20 27

EX=3×

7

27

+5×

20

27

=

121

27

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．