Question

已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组，现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号依次增加10进行系统抽样．
（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；
（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示，求这样本的方差；
（3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名，记ξ为成绩大于75分的人数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图

专题：概率与统计

分析：（1）由题意，抽出号码为22的组数为第3组．因为2+10×（3-1）=22，所以第1组抽出的号码应该为02，由此能求出抽出的10名学生的号码．
（2）由茎叶图能求出这10名学生的平均成绩和样本方差．
（3）ξ的取值为0，1，2．由超几何分布能求出ξ的分布列及数学期望．

解答： 解：（1）由题意，抽出号码为22的组数为第3组．…（1分）
因为2+10×（3-1）=22，所以第1组抽出的号码应该为02，
抽出的10名学生的号码依次分别为：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92．…（2分）
（2）这10名学生的平均成绩为：

.

x

=

1

10

×（81+70+73+76+78+79+62+65+67+59）=71，…（4分）
故样本方差为：S2=

1

10

（10²+1²+2²+5²+7²+8²+9²+6²+4²+12²）=52．…（6分）
（3）ξ的取值为0，1，2．由超几何分布得：…（7分）
P（ξ=0）=

C 2 6

C 2 10

=

1

3

，…（8分）
P（ξ=1）=

C 1 4 C 1 6

C 2 10

=

8

15

，…（9分）
P（ξ=2）=

C 2 4

C 2 10

=

2

15

．…（10分）
所以，随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	1 3	8 15	2 15

…（11分）
∴Eξ=0×

1

3

+1×

8

15

+2×

2

15

=

4

5

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．解题时要注意茎叶图的合理运用．