Question

某化妆品生产公司计划在郑州的“五一社区”举行为期三天的“健康使用化妆品知识讲座”．每位有兴趣的同志可以在期间的任意一天参加任意一个讲座，也可以放弃任何一个讲座．规定：各个讲座达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座．若各个讲座各天满座的概率如下：

	洗发水讲座	洗面奶讲座	护肤霜讲座	活颜营养讲座	指油使用讲座
第一天	1 4	1 4	1 4	1 4	1 2
第二天	1 2	1 2	1 2	1 2	2 3
第三天	1 3	1 3	1 3	1 3	2 3

（1）求指油使用讲座三天都不满座的概率；
（2）设第二天满座的讲座数目为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）利用对立事件概率计算公式能求出指油使用讲座三天都不满座的概率．
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）设指油使用讲座三天都不满座为事件A，
则P（A）=（1-

1

2

）（1-

2

3

）（1-

2

3

）=

1

18

，
∴指油使用讲座三天都不满座的概率为

1

18

．…（5分）
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5．
P(ξ=0)=(1-

1

2

)4×(1-

2

3

)=

1

48

…（6分）
P(ξ=1)=

C

1 4

×

1

2

×(1-

1

2

)3×(1-

2

3

)+(1-

1

2

)4×

2

3

=

1

8

，…（7分）
P(ξ=2)=

C

2 4

×(

1

2

)2×(1-

1

2

)2×(1-

2

3

)+

C

1 4

×

1

2

×(1-

1

2

)3×

2

3

=

7

24

，…（8分）
P(ξ=3)=

C

3 4

×(

1

2

)3×(1-

1

2

)×(1-

2

3

)+

C

2 4

×(

1

2

)2×(1-

1

2

)2×

2

3

=

1

3

．…（9分）
P(ξ=4)=(

1

2

)4×(1-

2

3

)+

C

3 4

(

1

2

)3×(1-

1

2

)×

2

3

=

3

16

；…（10分）
P(ξ=5)=(

1

2

)4×

2

3

=

1

24

；…．…（11分）
故ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4	5
P	1 48	1 8	7 24	1 3	3 16	1 24

Eξ=0×48+1×

1

8

+2×

7

24

+3×

1

3

+4×

3

16

+5×

1

24

=

8

3

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．