Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．
（1）求函数y=f（x）的单调区间和对称中心
（2）求函数y=f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）根据题意，求出f（x）的解析式，利用三角函数的图象与性质求出f（x）的单调递增区间以及对称中心；
（2）由x的取值范围求出2x+

π

6

的取值范围，从而得出sin(2x+

π

6

)的取值范围，即得f（x）的值域．

解答： 解：（1）根据题意得，f(x)=2cos2x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x
=2sin(2x+

π

6

)+1，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
即 kπ-

π

3

≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，（k∈Z）；
令2x+

π

6

=kπ，解得：x=-

π

12

+

kπ

2

，（k∈Z），
∴函数y=f（x）的对称中心为：（-

π

12

+

kπ

2

，1）（k∈Z）；
（2）∵-

π

6

≤x≤

π

3

，∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴-

1

2

×2+1≤2sin(2x+

π

6

)+1≤2×1+1；
即0≤f（x）≤3；
∴函数y=f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域为[0，3]．

点评：本题考查了平面向量的应用问题以及三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换问题，是综合题目．