Question

设正数数列{a_n}为等比数列，a₂=4，a₄=16，记b_n=2•log₂a_n
（1）求a_n和b_n；
（2）证明：对任意的n∈N⁺，有

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

＞

n+1

成立．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：（1）先根据a₂=4，a₄=16求出数列{a_n}的通项公式，利用b_n=2•log₂a_n，求出b_n；
（2）利用数学归纳法进行证明，①当n=1时，不等式成立，②假设当n=k时不等式成立，然后证明当n=k+1时，不等式成立，从而证得结论．

解答： （1）解：正数数列{a_n}为等比数列，a₂=4，a₄=16，可知q²=4，
又a_n＞0，∴a_n=2ⁿ，
∴b_n=2•log₂a_n=2n．
（2）证明：①当n=1时，左边=

3

2

，右边=

2

，因为

3

2

＞

2

，所以不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bk+1

bk

＞

k+1

成立．
则当n=k+1时，左边=

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bk+1

bk

•

bk+1+1

bk+1

＞

k+1

•

2k+3

2k+2

=

(k+1)+1+ 1 4(k+1)

＞

(k+1)+1

∴当n=k+1时，不等式也成立．
由①、②可得不等式恒成立．

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及等差数列求和和利用数学归纳法证明不等式，属于中档题．