Question

在直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρ（

2

cosθ-sinθ）-2a=0与曲线

x=sinθ+cosθ y=1+sin2θ

（θ为参数）有两个不同的交点，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，根据直线和曲线两个不同的交点，可得由直线方程、曲线方程组成的方程组有2个解，可得对应的一元二次方程判别式大于零，由此求得a范围．

解答： 解：直线ρ（

2

cosθ-sinθ）-2a=0 化为直角坐标方程为

2

x-y-2a=0，
曲线

x=sinθ+cosθ y=1+sin2θ

（θ为参数）消去参数，化为直角坐标方程为 y=x²，x∈[-

2

，

2

]．
根据直线和曲线两个不同的交点，可得

2 x-y-2a=0 y=x2

 在[-

2

，

2

]有两个解，
故方程 x²-

2

x+2a=0 在[-

2

，

2

]上有两个不等实数根．
令f（x）=x²-

2

x+2a，显然，f（x）的对称轴为x=

2

2

，根据题意可得

△=2-8a＞0 - 2 ＜ 2 2 ＜ 2 f(- 2 )=4+2a≥0 f( 2 )=2a≥0

，
求得0≤a＜

1

4

，
故答案为：[0，

1

4

）．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，体现了转化的数学思想，属于基础题．