Question

（1）若关于x的不等式（ax-

1

a

）（x+4）≥0的解集为[-4，4]，求实数a的值；
（2）若关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为（-1，2），求关于x的不等式

a-c

x

≥b的解集．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由题意可知：a＜0．因此不等式（ax-

1

a

）（x+4）≥0可化为(x-

1

a2

)(x+4)≤0，由于此不等式的解集为[-4，4]，可得

1

a2

=4，即可解出．
（2）由于关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为（-1，2），可知a＜0，且-1，2是方程ax²+bx+c＞0的两个实数根，利用根与系数的关系和一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）由题意可知：a＜0．∴不等式（ax-

1

a

）（x+4）≥0可化为(x-

1

a2

)(x+4)≤0，
∵此不等式的解集为[-4，4]，∴-4≤x≤

1

a2

，
∴

1

a2

=4，又a＜0，解得a=-

1

2

．
（2）∵关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为（-1，2），∴a＜0，且-1，2是方程ax²+bx+c＞0的两个实数根，
∴

-1+2=- b a -1×2= c a

，化为b=-a，c=-2a．
不等式

a-c

x

≥b化为

3a

x

≥-a，
∵a＜0，∴

3

x

≤-1，即

3+x

x

≤0，
化为x（x+3）≤0，解得-3≤x≤0．
∴关于x的不等式

a-c

x

≥b的解集是{x|-3≤x≤0}．

点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．