Question

14．已知{a_n}满足a₁=1，a_n+a_n+1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ（n∈N^*），S_n=a₁+a₂•3+a₃•3²+…+a_n•3^n-1，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得4S_n-a_n•3ⁿ=n．

Answer 1

分析 在式子两边同乘3，再与原式相加得出4S_n，根据条件a_n+a_n+1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ即可得出结论．

解答 解：∵S_n=a₁+a₂•3+a₃•3²+…+a_n•3^n-1，
∴3S_n=3a₁+3²a₂+3³a₃+…+3ⁿa_n，
两式相加得4S_n=a₁+3（a₁+a₂）+3²（a₂+a₃）+…3^n-1（a_n-1+a_n）+3ⁿa_n，
∴4S_n-a_n•3ⁿ=a₁+3（a₁+a₂）+3²（a₂+a₃）+…3^n-1（a_n-1+a_n）
=1+3$•\frac{1}{3}$+3²•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+3^n-1•$\frac{1}{{3}^{n}}$=1+1+1+…+1=n．
故答案为：n．

点评 本题考查了错位相减法的类比应用，属于中档题．