Question

4．已知f（x）为二次函数，f（0）=2，且满足f（x+1）-f（x）=2x-1．
（1）求f（x）的表达式；
（2）当x∈[-2，2]时，求函数的值域；
（3）当∈[t，t+1]时，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）要求二次函数的解析式，利用直接设解析式的方法，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求的结果．
（2）根据二次函数的性质即可求出最值，
（3）分析函数f（x）=x²-2x+2的图象和性质，进而分类讨论给定区间与对称轴的关系，进而得到函数在给定区间上的单调性，进而可得答案

解答 解：（1）设二次函数的解析式为f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=2得c=2，
故f（x）=ax²+bx+2．
因为f（x+1）-f（x）=2x-1，
所以a（x+1）²+b（x+1）+2-（ax²+bx+2）=2x-1．
即2ax+a+b=2x-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=-1}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x+2，
（2）f（x）的对称轴为x=1，
∴f（x）_min=f（1）=1，
f（x）_max=f（-2）=10，
∴f（x）的值域为[1，10]，
（3）当t≥1时，f（x）在[t，t+1]上递增，
∴f（x）_min=f（t）=t²-2t+2，
当t＜1＜t+1时，即0＜t＜1时，
f（x）_min=f（1）=1，
当t+1≤1时，即t≤0时，f（x）在[t，t+1]上递减，
f（x）_min=f（t+1）=t²+1，
综上所述，
f（x）min=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t+2，t≥1}\\{1，0＜t＜1}\\{{t}^{2}+1，t≤0}\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．