Question

16．函数f（x）=e^x-ax-1，其中a为实数．
（1）若a=1，求函数f（x）的最小值．
（2）若函数f（x）在（0，2]上有零点，求a的取值范围．
（3）求证：$ln2+ln3+ln4+…+ln（{n+1}）＜\frac{{{{（{n+1}）}^2}}}{2}（{n∈{N^*}}）$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点，求出a的范围即可；
（3）根据e^x≥x+1，两边同时取对数得x≥ln（x+1）（x＞-1），对x取值，累加即可．

解答 解：（1）f'（x）=e^x-1，
∴函数在（0，+∞）上递增，（-∞，0）上递减，
∴f（x）_极小值=f（0）=0；
（2）f'（x）=e^x-a（0＜x≤2），
当a≤1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2]上递增，
f（x）＞f（0）=0，因此无零点；
当a≥e²时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2]上递减，
f（x）＜f（0）=0，因此无零点；
当e²＞a＞1时，由f'（x）=0，x=lna，
当0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）递减；
当lna＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）递增．
又f（0）=0，f（2）=e²-2a-1，
因此f（2）=e²-2a-1≥0，得$1＜a＜\frac{{{e^2}-1}}{2}$．
（3）由（1）知e^x≥x+1，
两边同时取对数得x≥ln（x+1）（x＞-1），
因此可得：1≥ln2，2≥ln3，3≥ln4，…，n≥ln（n+1），
以上n-1个不等式相加得：
ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）≤1+2+3+4+…+n，
$1+2+3+4+…+n=\frac{n（n+1）}{2}＜\frac{{{{（n+1）}^2}}}{2}$得证．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．