Question

11．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（-x）且f（1+x）=f（1-x），若x∈[2，3]，f（x）=x，则x∈[-2，0]，f（x）=（　　）

• A． x+4
• B． 2-x
• C． 3-|x+1|
• D． 2+|x+1|

Answer 1

分析 由题设条件知本题中所给的函数具有对称性函数，故可以利用这一性质即可求出f（x）在[-2，0]上的解析式．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（-x）
∴f（x）为偶函数，
∵f（1+x）=f（1-x），
∴函数图象关于x=1对称，
∴f（1+x+1）=f（x+1-1）=f（x），
∴f（x）的周期为2的周期函数，
∵x∈[2，3]，f（x）=x，
设x∈[0，1]，则x+2∈[2，3]，
∴当x∈[-1，0]时，f（x）=2-x，
当x∈[-2，-1]时，则x+4∈[2，3]，
∴f（x+4）=x+4=f（x）
综上所述f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-x，x∈[-1，0]}\\{x+4，x∈[-2，1）}\end{array}\right.$=3-|x-1|，x∈[-2，0]，
故选：C

点评 本题考点抽象函数的应用，利用函数的性质通过转化来求函数的解析式，是函数性质综合运用的一道好题．对于本题中恒等式的意义要好好挖掘，做题时要尽可能的从这样的等式中挖掘出信息．