Question

2．已知在（$\frac{a}{x}$-$\sqrt{x}$）⁶（a＞0）的展开式中，常数项为60．
（1）求a；
（2）求含x${\;}^{\frac{3}{2}}$的项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．

Answer 1

分析 （$\frac{a}{x}$-$\sqrt{x}$）⁶（a＞0）的展开式中，通项公式T_r+1=a^6-r（-1）^r${∁}_{6}^{r}$${x}^{\frac{3}{2}r-6}$．
（1）令$\frac{3}{2}r$-6=0，解得r即可得出．
（2）令$\frac{3}{2}r$-6=$\frac{3}{2}$，解得r即可得出．
（3）由x的指数为$\frac{3}{2}r$-6（r=0，1，2，…，6），只有当r=4，6时，为有理项．

解答 解：（$\frac{a}{x}$-$\sqrt{x}$）⁶（a＞0）的展开式中，通项公式T_r+1=${∁}_{6}^{r}$$（\frac{a}{x}）^{6-r}（-\sqrt{x}）^{r}$=a^6-r（-1）^r${∁}_{6}^{r}$${x}^{\frac{3}{2}r-6}$．
（1）令$\frac{3}{2}r$-6=0，解得r=4，∴a²${∁}_{6}^{4}$=60，解得a=2．
（2）令$\frac{3}{2}r$-6=$\frac{3}{2}$，解得r=5，
∴含x${\;}^{\frac{3}{2}}$的项的系数=$2×（-1）{∁}_{6}^{5}$=-12．
（3）由x的指数为$\frac{3}{2}r$-6（r=0，1，2，…，6），
只有当r=4，6时，有理项分别为：T₅=60，T₇=x³．

点评 本题考查了二项式定理的通项公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．