Question

12．若关于x的不等式x²+|x-a|＜2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是$（-2，\frac{9}{4}）$．

Answer 1

分析 原不等式为：2-x²＞|x-a|，我们在同一坐标系画出y=2-x²（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值范围．

解答 解：不等式为：2-x²＞|x-a|，且 0＜2-x²．
在同一坐标系画出y=2-x²（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个函数图象，
将绝对值函数 y=|x|向左移动，当右支经过 （0，2）点，a=-2；
将绝对值函数 y=|x|向右移动让左支与抛物线y=2-x²（y≥0，x＞0）相切时，
由 $\left\{\begin{array}{l}{y-0=-（x-a）}\\{y=2{-x}^{2}}\end{array}\right.$，可得 x²-x+a-2=0，
再由△=0 解得a=$\frac{9}{4}$．
数形结合可得，实数a的取值范围是（-2，$\frac{9}{4}$）．
故答案为：（-2，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出y=2-x²（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键．