Question

17．（1）设0＜x＜$\frac{3}{2}$，求函数y=x（2-x）的最大值
（2）已知x＞3，求y=x+$\frac{4}{x-3}$的最小值
（3）已知x＞0，y＞0，$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{3}$=2，求xy的最大值．

Answer 1

分析 根据基本不等式的即可求出，注意等号成立的条件．

解答 解：$\begin{array}{l}（1）∵0＜x＜\frac{3}{2}$，
∴2-x＞0，
∴$y=x（2-x）≤{[{\frac{x+（2-x）}{2}}]^2}=1\end{array}$，当且仅当x=2-x时取等号，既x=1时，y的最大值为1，
$\begin{array}{l}（2）∵x＞3$，∴$x-3＞0\\∴y=x+\frac{4}{x-3}=（x-3）+\frac{4}{x-3}+3≥2\sqrt{4}+3=7\end{array}$，$当且仅当x-3=\frac{4}{x-3}时取等号，即x=5时，y的最小值为7$，
（3）∵x＞0，y＞0，
∴$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}≥2\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{y}{3}}∴2≥2\sqrt{\frac{xy}{6}}∴xy≤6$，
$当且仅当\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=1时取等号，即x=2，y=3时，xy的最大值为6$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．