Question

5．已知直线x=2与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的渐近线交于E₁、E₂两点，记$\overrightarrow{O{E}_{1}}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{O{E}_{2}}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$，任取双曲线C上的点P，若$\overrightarrow{OP}$=a$\overrightarrow{{e}_{1}}$+b$\overrightarrow{{e}_{2}}$（a，b∈R），则（　　）

• A． 0＜a²+b²＜1
• B． 0＜a²+b²＜$\frac{1}{2}$
• C． a²+b²≥1
• D． a²+b²≥$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的坐标，得出P点坐标，代入双曲线方程得出ab=$\frac{1}{4}$，根据基本不等式得出a²+b²的范围．

解答 解：双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，∴E₁（2，1），E₂（2，-1）．
∵$\overrightarrow{OP}$=a$\overrightarrow{{e}_{1}}$+b$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（2a+2b，a-b），
∴P（2a+2b，a-b），
∴（a+b）²-（a-b）²=1，∴4ab=1，即ab=$\frac{1}{4}$．
∴a²+b²≥2ab=$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，基本不等式的应用，属于中档题．