Question

10．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2{x^2}+1（x≥1）\\ lo{g_2}（1-x）（x＜1）\end{array}\right.$，若f（f（a））=3，则a=$2或\frac{127}{128}$．

Answer 1

分析 利用分段函数，通过a的范围，列出方程求解即可．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2{x^2}+1（x≥1）\\ lo{g_2}（1-x）（x＜1）\end{array}\right.$，若f（f（a））=3，当a≥1时，
可得：f（-2a²+1）=3，可得log₂（2a²）=3，解得a=2．
当a＜1时，
可得：f（log₂（1-a））=3，log₂（1-a）＞1时，可得$-2（lo{g}_{2}（1-a））^{2}+1=3$，解得a∈∅．
log₂（1-a）＜1时，可得log₂（1-log₂（1-a））=3，即1-log₂（1-a）=8，log₂（1-a）=-7，
1-a=$\frac{1}{128}$，可得a=$\frac{127}{128}$．
故答案为：2或$\frac{127}{128}$．

点评 本题考查分段函数的应用，函数的零点与方程根的关系，考查计算能力．