Question

7．已知$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-{log_2}x$，实数a，b，c满足f（a）•f（b）•f（c）＜0，且0＜a＜b＜c，若实数x₀是函数f（x）的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（　　）

• A． x₀＜a
• B． x₀＞b
• C． x₀＜c
• D． x₀＞c

Answer 1

分析 由指数函数与对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）上单调递减，结合f（x₀）=0，可得当x＜x₀时，f（x）＞0，当x＞x₀时，f（x）＜0，由此可得x₀＞c不可能成立．

解答 解：∵$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-{log_2}x$在（0，+∞）上单调递减，
又实数x₀是函数f（x）的一个零点，
∴当x＜x₀时，$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-{log_2}x＞0$；
当x＞x₀时，$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-{log_2}x$＜0．
∵f（a）•f（b）•f（c）＜0，且0＜a＜b＜c，
∴x₀＞c不可能成立．
故选：D．

点评 本题考查函数零点判定定理，考查函数单调性的性质，是中档题．