Question

16．已知在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1•a_n=2a_n-a_n+1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过a_n+1•a_n=2a_n-a_n+1变形、整理可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），利用a₁=2即$\frac{1}{{a}_{1}}-1$=-$\frac{1}{2}$，计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1•a_n=2a_n-a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}•{a}_{n}}{{a}_{n+1}•{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}•{a}_{n}}$，
即$\frac{2}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
又∵a₁=2，即$\frac{1}{{a}_{1}}-1$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．