Question

7．已知a∈R，函数f（x）=（-x²+ax）e^x，（x∈R，e为自然对数的底数）
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间．
（2）函数f（x）是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调递增区间，
（2），求导函数，判断出f′（x）的值有正有负，故函数f（x）的不是R上的单调函数．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=（-x²+2x）e^x，
∴f′（x）=-（x²-2）e^x
令f′（x）＞0，得x²-2＜0，
∴-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$
∴f（x）的单调递增区间是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
（2）∵f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，
记g（x）=-x²+（a-2）x+a，
∴△=（a-2）²+4a=a²+4＞0，
∴x∈R时，g（x）的值有正有负，
而x∈R时，e^x＞0恒成立，
于是x∈R时，f′（x）的值有正有负，
故函数f（x）的不是R上的单调函数．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题