试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、不等式的基本性质等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力,考查学生的函数思想.第一问,先将
转化为
,先得到
表达式,对
求导,利用“
单调递增;
单调递减”解不等式求函数
的单调区间,利用函数的单调性确定最小值所在的位置;第二问,将
转化为
,令F(x)=f(x)-g(x)对f(x)求导,由于
的正负不明显,所以进行二次求导,二次求导后得到G¢(x)=e
x-k,只需讨论k的正负,通过
的单调性,求出
的最值,来判断
的正负,来判断
的单调性,从而求
的最值.
(1)当k=1时,设h(x)=f(x)-g(x)+
=e
x-x-1,h¢(x)=e
x-1. 1分
当x∈(-∞,0)时,h¢(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,h¢(x)>0,h(x)单调递增.
所以h(x)≥h(0)=0.
故f(x)≥g(x)-
. 4分
(2)设F(x)=f(x)-g(x)=e
x-
x
2-x-1,则F¢(x)=e
x-kx-1.
设G(x)=e
x-kx-1,则G¢(x)=e
x-k. 6分
(1)若k≤0时,则G¢(x)>0,G(x)单调递增,
当x∈(-∞,0)时,G(x)<G(0)=0,即F¢(x)<0,F(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,G(x)>G(0)=0,即F¢(x)>0,F(x)单调递增.
故F(x)≥F(0)=0,此时f(x)≥g(x). 9分
(2)若k>0,则
当x∈(-∞,-
)时,e
x-1<0,-
x
2-x=-
x(kx+2)<0,
从而F(x)=e
x-1-
x
2-x<0,这时f(x)≥g(x)不成立. 11分
综上,k的取值范围是(-∞,0]. 12分