精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数.
(1)当时,证明:
(2)若,求k的取值范围.
(1)证明过程详见解析;(2)(-∞,0].

试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、不等式的基本性质等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力,考查学生的函数思想.第一问,先将转化为,先得到表达式,对求导,利用“单调递增;单调递减”解不等式求函数的单调区间,利用函数的单调性确定最小值所在的位置;第二问,将转化为,令F(x)=f(x)-g(x)对f(x)求导,由于的正负不明显,所以进行二次求导,二次求导后得到G¢(x)=ex-k,只需讨论k的正负,通过的单调性,求出的最值,来判断的正负,来判断的单调性,从而求的最值.
(1)当k=1时,设h(x)=f(x)-g(x)+=ex-x-1,h¢(x)=ex-1. 1分
当x∈(-∞,0)时,h¢(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,h¢(x)>0,h(x)单调递增.
所以h(x)≥h(0)=0.
故f(x)≥g(x)-.           4分
(2)设F(x)=f(x)-g(x)=exx2-x-1,则F¢(x)=ex-kx-1.
设G(x)=ex-kx-1,则G¢(x)=ex-k.       6分
(1)若k≤0时,则G¢(x)>0,G(x)单调递增,
当x∈(-∞,0)时,G(x)<G(0)=0,即F¢(x)<0,F(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,G(x)>G(0)=0,即F¢(x)>0,F(x)单调递增.
故F(x)≥F(0)=0,此时f(x)≥g(x).       9分
(2)若k>0,则
当x∈(-∞,-)时,ex-1<0,-x2-x=-x(kx+2)<0,
从而F(x)=ex-1-x2-x<0,这时f(x)≥g(x)不成立.   11分
综上,k的取值范围是(-∞,0].        12分
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(14分)(2011•广东)设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(1﹣a)x2﹣2(1﹣a)x的单调性.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知函数()的图象如图所示,则不等式的解集为________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知,现给出如下结论:
;②;③;④;;
的极值为1和3.其中正确命题的序号为                .

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,函数图象上的点都在所表示的平面区域内,不等式恒成立,求实数的取值范围.   

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知函数,直线与 函数的图像都相切,且与函数图像的切点的横坐标为1,则的值为 (     )
A.1 B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

,则等于     (    )
A.-2B.-4C.2D.0

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若函数,则等于(    )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

函数=的导函数是(    )
A.y′=3B.y′=2
C.y′=3+D.y′=3+

查看答案和解析>>

同步练习册答案