Question

2．（Ⅰ）请用分析法证明：$\sqrt{5}+2＞\sqrt{3}+\sqrt{6}$
（Ⅱ）已知a，b为正实数，请用反证法证明：a+$\frac{1}{b}$与b+$\frac{1}{a}$中至少有一个不小于2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）两边平方寻找使不等式成立的条件即可；
（Ⅱ）假设两数都小于2，利用完全平方公式分解因式即可得出矛盾，得出结论成立．

解答 证明：（Ⅰ）要证：$\sqrt{5}+2＞\sqrt{3}+\sqrt{6}$，
只要证：${（\sqrt{5}+2）^2}＞{（\sqrt{3}+\sqrt{6}）^2}$，
即证：$\sqrt{20}＞\sqrt{18}$，
即证：20＞18，
而上式显然成立，故原不等式成立．
（Ⅱ）假设结论不成立，则$a+\frac{1}{b}＜2\;，\;b+\frac{1}{a}＜2$，
所以$a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{a}＜4$，即$（a+\frac{1}{a}-2）+（b+\frac{1}{b}-2）＜0$，
即${（\sqrt{a}-\frac{1}{{\sqrt{a}}}）^2}+{（\sqrt{b}-\frac{1}{{\sqrt{b}}}）^2}＜0$，
显然上式不成立．
故假设不成立，
所以a+$\frac{1}{b}$与b+$\frac{1}{a}$中至少有一个不小于2．

点评 本题考查了分析法与反证法证明，属于中档题．