Question

13．已知f（x）是定义在R上且周期为4的函数，在区间[-2，2]上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+1，-2≤x＜0}\\{{x}^{2}+b，0≤x≤2}\end{array}\right.$，其中a．b为实数，若f（-3）=f（-1），则b-a=6．

Answer 1

分析 由f（x）是定义在R上且周期为4的函数，推导出f（-3）=f（1）=1+b，f（-1）=-a+1，由f（-3）=f（-1），得b=-a，再由f（-2）=-2a+1，f（2）=4+b，f（-2）=f（2），求出-a=3，由此能求出b-a的值．

解答 解：∵f（x）是定义在R上且周期为4的函数，
在区间[-2，2]上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+1，-2≤x＜0}\\{{x}^{2}+b，0≤x≤2}\end{array}\right.$，其中a．b为实数，
∴f（-3）=f（1）=1+b，f（-1）=-a+1，
∵f（-3）=f（-1），∴1+b=-a+1，∴b=-a，
f（-2）=-2a+1，f（2）=4+b，
∵f（-2）=f（2），∴-2a+1=4+b，
解得-a=3，
∴b-a=-2a=6．
故答案为：6．

点评 本题考查代数式求和，考查函数的周期性、分段函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．