Question

3．下列四个结论：
①若x＞0，则x＞sinx恒成立；   
②“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真命题
③?m∈R，使f（x）=（m-1）x${\;}^{{m}^{2}-4m+3}$是幂函数，且在（-∞，0）上单调递减
④对于命题p：?x∈R使得x²+x+1＜0，则￢p：?x∈R，均有x²+x+1＞0
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①设f（x）=x-sinx，x＞0，利用导数判断f（x）是单调增函数；
得出f（x）＞f（0），即x＞sinx；   
②写出它的逆命题并判断真假性；
③求出m=2时f（x）幂函数，且在（-∞，0）上单调递减；
④写出命题p的否定￢p即可．

解答 解：对于①，设f（x）=x-sinx，其中x＞0，
∴f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
∴f（x）＞f（0）=0，
∴x-sinx＞0，
∴x＞sinx，
即x＞0时，x＞sinx恒成立，①正确；   
对于②，“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题是：
“若a＜b，则am²＜bm²”，是假命题，
m=0时命题不成立，∴②错误；
对于③，令m-1=1，得m=2，此时f（x）=x^-1是幂函数，
且在（-∞，0）上单调递减，∴③正确；
对于④，命题p：?x∈R使得x²+x+1＜0，
则￢p：?x∈R，均有x²+x+1≥0，∴④错误．
综上，正确的结论是①③，共2个．
故选：B．

点评 本题考查了命题真假的判断问题，也考查了函数的性质与应用以及四种命题之间的关系问题，是综合题．