Question

18．已知函数f（x）=|x+m|+|2x-1|（m∈R）．
（1）当m=-1时，求不等式f（x）≤2的解集；
（2）设关于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集为A，且[1，2]⊆A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当m=-1时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得，当x∈[1，2]时，关于x的不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，即-2≤x+m≤2 恒成立，即-x-2≤m≤2-m 恒成立，由此可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）当m=-1时，函数f（x）=|x-1|+|2x-1|，不等式f（x）≤2，即|x-1|+|2x-1|≤2，
故有$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{2}}\\{1-x+1-2x≤2}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}≤x≤1}\\{1-x+2x-1≤2}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x-1+2x-1≤2}\end{array}\right.$ ③．
解①求得0≤x＜$\frac{1}{2}$，解②求得$\frac{1}{2}$≤x≤1，解③求得1＜x≤$\frac{4}{3}$．
综上可得，不等式f（x）≤2的解集为{x|0≤x≤$\frac{4}{3}$}．
（2）由题意可得，当x∈[1，2]时，关于x的不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，
即|x+m|+|2x-1|≤|2x+1|恒成立，即|x+m|≤（2x+1）-（2x-1）=2 恒成立，
∴-2≤x+m≤2 恒成立，即-x-2≤m≤2-m 恒成立，∴-3≤m≤0，
即实数m的取值范围为[-3，0]．

点评 本题主要考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．