Question

已知函数y=

1+bx

ax+1

(a＞0，x≠-

1

a

)的图象关于直线y=x对称．
（1）求实数b的值；
（2）设A、B是函数图象上两个不同的定点，记向量

e1

=

AB

，

e2

=(1，0)，试证明对于函数图象所在的平面里任一向量

c

，都存在唯一的实数λ₁、λ₂，使得

c

=λ1

e1

+λ2

e2

成立．

Answer 1

（1）∵函数y=

1+bx

ax+1

(a＞0，x≠-

1

a

)的图象关于直线y=x对称，
∴当点(x0，y0)(x0≠-

1

a

)在函数的图象上时，点(y0，x0)(y0≠-

1

a

)也在函数的图象上，即

y0= 1+bx0 ax0+1 x0= 1+by0 ay0+1

，化简，得（a+ab）x₀²+（1-b²）x₀-1-b=0．
此关于x₀的方程对x0≠-

1

a

的实数均成立，即方程的根多于2个，
∴

a+ab=0 1-b2=0 -1-b=0

，解之，得b=-1．
（2）由（1）知，y=

1-x

ax+1

(a＞0，x≠-

1

a

)，又点A、B是该函数图象上不同两点，则它们的横坐标必不相同，于是，可设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
所以

e1

=

AB

，

e2

=(1，0)都是非零向量．
又y1-y2=

1-x1

ax1+1

-

1-x2

ax2+1

=

(1+a)(x2-x1)

(1+ax1)(1+ax2)

(x1≠x2，a＞0)
∴y₁≠y₂，
∴

e1

=

AB

=(x2-x1，y2-y1)与

e2

=(1，0)不平行，
即

e1

与

e2

为函数图象所在坐标平面上所有向量的一组基．
根据平面向量的分解定理，可知，函数图象所在的平面上任一向量

c

，都存在唯一实数λ₁、λ₂，使得

c

=λ1

e1

+λ2

e2

成立．