Question

（2012•大连模拟）已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）当0＜x＜y＜e²且x≠e时，试比较

y

x

与

1-lny

1-lnx

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a-

1

x

．通过考察f′（x）的正负值区间判断单调区间，得出极值点情况．
（Ⅱ）a=1，f（x）≥bx-2恒成立，即（1-b）x＞lnx-1，将b分离得出，b＜1-

lnx-1

x

，令g（x）=1-

lnx-1

x

，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用导数求最小值．
（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=1-

lnx-1

x

在（0，e²）上为减函数，g（x）＞g（y），1-

lnx-1

x

＞1-

lny-1

y

，整理得

1-lnx

x

＞

1-lny

y

，考虑将1-lnx除到右边，为此分1-lnx正负分类求解．

解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a-

1

x

．
（Ⅰ）当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数 在（0，+∞）单调递减，
∴在（0，+∞）上没有极值点；
当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞

1

a

，f′（x）＜0得x＜

1

a

．f′（x）=0得x=

1

a

．
∴在（0，

1

a

）上递减，在（

1

a

，+∞）上递增，即在x=

1

a

处有极小值．
∴当a≤0时在（0，+∞）上没有极值点，
当a＞0时，在（0，+∞）上有一个极值点．（3分）
（Ⅱ）∵函数在x=

1

a

处取得极值，∴a=1，
f（x）=x-1-lnx，
∵f（x）≥bx-2，移项得（1-b）x＞lnx-1，再将b分离得出，b＜1-

lnx-1

x

，令g（x）=1-

lnx-1

x

，
则令g′（x）=

lnx-2

x2

，可知在（0，e²）上g′（x）＜0，在（e²，+∞）上g′（x）＞0，
∴g（x）在x=e²处取得极小值，也就是最小值．此时g（e²）=1-

1

e2

，
所以b≤1-

1

e2

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=1-

lnx-1

x

在（0，e²）上为减函数．0＜x＜y＜e²且x≠e时，
有g（x）＞g（y），1-

lnx-1

x

＞1-

lny-1

y

，整理得

1-lnx

x

＞

1-lny

y

①
当0＜x＜e时，1-lnx＞0，由①得，

y

x

＞

1-lny

1-lnx

当e＜x＜e²时，1-lnx＜0，由①得

y

x

＜

1-lny

1-lnx

点评：本题考查函数与导数，利用导数研究函数的单调性，极值，并利用单调性比较大小．考查了分类讨论、构造、推理计算能力．