Question

如图所示，在一个（2n-1）×（2n-1）（n∈N且n≥2）的正方形网格内涂色，要求两条对角线的网格涂黑色，其余网格涂白色．若用f（n）表示涂白色网格的个数与涂黑色网格的个数的比值，则f（n）的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：网格型,函数的性质及应用

分析：只要数对角线上共有多小个小方格即可，注意两条对角线在正方形中心处有一个小方格是重合的．

解答： 解：由题意知在（2n-1）×（2n-1）（n∈N且n≥2）的正方形网格内对角线共2（2n-1）-1=4n-3个，即共有（4n-3）个方格涂黑色，余下的方格都涂白色，
∴f（n）=

(2n-1)2-(4n-3)

4n-3

，
∴f（n）=

4n2-8n+4

4n-3

=

1

4

•

16n2-32n+16

4n-3

=

1

4

•

(4n-3)2-2(4n-3)+1

4n-3

=

1

4

•[（4n-3）+

1

4n-3

-2]
令t=

1

4n-3

，
∵n≥2，∴t∈（0，

1

5

]，又y=

1

4

（t+

1

t

-2）在t∈（0，

1

5

]上单调递减，
∴当t=

1

5

，即n=2时，有最小值，f（2）=

4

5

．
故答案为：

4

5

．

点评：本题是一个函数的应用题，理解题意是前提，算出对角线上小方格个数是关键，建立函数关系式，利用双勾函数的单调性就可以求出函数最小值．