Question

已知函数f(x)＝xe^－x.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)当0<x<1时，f(x)>f，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：(1)由题知，f′(x)＝(1－x)e^－x(x∈R)，当f′(x)>0时，x<1，当f′(x)<0时，x>1，

所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)，

其极大值为f(1)＝，无极小值．

(2)由题知，0<x<1，当k≤0时，

因为≤0<x<1，由(1)知，函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，

所以f(x)>f，符合题意；

当0<k<1时，取x＝k，可得f(k)>f(1)，这与函数在(－∞，1)上单调递增不符；

当k≥1时，因为≥>1，由(1)知，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，

所以f≤f，即只需证f(x)>f，即证xe^－x>e－，

即ln x－x>－ln x－ ,2ln x－x＋>0，令h(x)＝2ln x－x＋(0<x<1)，

则h′(x)＝<0对0<x<1恒成立，所以h(x)为(0,1)上的减函数，所以h(x)>h(1)＝0，

所以f(x)>f，符合题意．

综上知，实数k的取值范围是k∈(－∞，0]∪[1，＋∞)．