Question

（2007•崇明县一模）已知如图，直线l：x=-

p

2

（p＞0），点F(

p

2

，0)，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）当p=2时，曲线C上存在不同的两点关于直线y=kx+3对称，求实数k满足的条件（写出关系式即可）；
（3）设动点M （a，0），过M且斜率为1的直线与轨迹C交于不同的两点A，B，线段AB的中垂线与x轴交于点N，当|AB|≤2p时，求△NAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先设出点P坐标，得到点Q坐标，再代入

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

整理即可得到动点P的轨迹C的方程；
（2）先假设存在，设出对称点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）以及直线AB所在直线方程为x+ky+n=0，联立直线方程与抛物线方程，再结合AB中点M在直线y=kx+3上即可得到实数k满足的条件．
（3）先联立直线方程与抛物线方程，得到点A，B的坐标与a的关系并表示出线段AB的长，结合|AB|≤2p，求出a的范围；再求出线段AB的中垂线得到点N的坐标，写出△NAB面积的表达式，结合函数的单调性即可求解．

解答：解：（1）设点P坐标为P（x，y），则点Q坐标为Q（-

p

2

，y)
则

QP

=(x+

p

2

，0)，

QF

=(p，-y)，

FP

=(x-

p

2

，y)，

FQ

=(-p，y)（2分）
由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．得：y²=2px（p＞0）（4分）
（2）p=2时，y²=4x．
设曲线C上关于直线y=kx+3对称点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则直线AB所在直线方程为x+ky+n=0，（n为常数）．
代入y²=4x得y²+4ky+4n=0
△=（4k）²-16n＞0即k²-n＞0（3分）
又∵AB中点M在直线y=kx+3上，
则（2k²-n，-2k）代入y=kx+3得-2k=2k³-nk+3（5分）
∴

k2-n＞0 -2k=2k3-nk+3

即k2+

3

k

+2＜0．                                                     （6分）
（3）联立

y=x-a y2=2px

⇒y²-2px-2pa=0，
∵△=4p²+8pa＞0⇒a＞-

p

2

（1分）
∴|AB|=

2

|x1-x2|=

2

|y1-y2|=

2

(2p)2+8pa

≤2p
∴a≤-

p

4

∴-

p

2

＜a≤-

p

4

．                                       （2分）
AB中垂线y-p=-（x-a-p），即y=-x+a+2p
令y=0，x=a+2p
∴h=

|2p|

2

=

2

p（3分）
∴S△=

2p

•

2

(2p)2+8pa

×

1

2

=P

4p2+8pa

（4分）
在(-

p

2

单调递增                                   （5分）
当a=-

p

4

时，Smax=

2

p2．                             （6分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长公式的应用．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常联立直线方程与圆锥曲线方程，再结合韦达定理，判别式等得结论．