Question

已知函数y=f（x），若在区间（-2，2）内有且仅有一个x₀，使得f（x₀）=1成立，则称函数f（x）具有性质M．
（Ⅰ）若f（x）=sinx+2，判断f（x）是否具有性质M，说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）=x²+2mx+2m+1具有性质M，试求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,新定义,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）f（x）=sinx+2具有性质M．若存在x₀∈（-2，2），使得f（x₀）=1，解方程求出方程的根，即可证得；
（Ⅱ）依题意，若函数f（x）=x²+2mx+2m+1具有性质M，即方程x²+2mx+2m=0在（-2，2）上有且只有一个实根．设h（x）=x²+2mx+2m，即h（x）=x²+2mx+2m在（-2，2）上有且只有一个零点．讨论m的取值范围，结合零点存在定理，即可得到m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sinx+2具有性质M．
理由：依题意，若存在x₀∈（-2，2），使得f（x₀）=1，
则x₀∈（-2，2）时有sinx₀+2=1，即sinx₀=-1，x₀=2kπ-

π

2

，k∈Z．
由于x₀∈（-2，2），所以x₀=-

π

2

．
又因为区间（-2，2）内有且仅有一个x₀=-

π

2

．使得f（x₀）=1成立，
所以f（x） 具有性质M；
（Ⅱ）依题意，若函数f（x）=x²+2mx+2m+1具有性质M，
即方程x²+2mx+2m=0在（-2，2）上有且只有一个实根．
设h（x）=x²+2mx+2m，即h（x）=x²+2mx+2m在（-2，2）上有且只有一个零点．
解法一：
（1）当-m≤-2时，即m≥2时，可得h（x）在（-2，2）上为增函数，
只需

h(-2)＜0 h(2)＞0

解得

m＞2 m＞- 2 3

交集得m＞2．
（2）当-2＜-m＜2时，即-2＜m＜2时，若使函数h（x）在（-2，2）上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：
（ⅰ）m=0时，h（x）=x²在（-2，2）上有且只有一个零点，符合题意．
（ⅱ）当-2＜-m＜0即0＜m＜2时，需

h(-2)≤0 h(2)＞0

解得

m≥2 m＞- 2 3

交集得∅．
（ⅲ）当0＜-m＜2时，即-2＜m＜0时，需

h(-2)＞0 h(2)≤0

解得

m＜2 m≤- 2 3

交集得-2＜m≤-

2

3

．
（3）当-m≥2时，即m≤-2时，可得h（x）在（-2，2）上为减函数
只需

h(-2)＞0 h(2)＜0

解得

m＜2 m＜- 2 3

交集得m≤-2．
综上所述，若函数f（x）具有性质M，实数m的取值范围是m≤-

2

3

或m＞2或m=0；
解法二：
依题意，（1）由h（-2）•h（2）＜0得，（4-2m）（6m+4）＜0，解得m＜-

2

3

或m＞2．
同时需要考虑以下三种情况：
（2）由

-2＜-m＜2 △=0

解得m=0．
（3）由

-2＜-m＜0 h(-2)=0

解得

0＜m＜2 m=2

，不等式组无解．
（4）由

0＜-m＜2 h(2)=0

解得

-2＜m＜0 m=- 2 3

，解得m=-

2

3

．
综上所述，若函数f（x）具有性质M，实数m的取值范围是m＜-

2

3

或m＞2或m=0．

点评：本题考查函数的零点的判断和求法，考查零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．