Question

3．已知曲线C的方程是x⁴+y²=1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线y=x对称；
③曲线C所围成的区域的面积大于π．
其中，所有正确结论的序号是①③．

Answer 1

分析 分析关于原点对称的两个点（x，y）点（-x，-y），是否都在曲线上，可判断①；分析关于直线y=x对称的两个点（x，y）点（y，x），是否都在曲线上，可判断②； 求出曲线C所围成的区域面积，可判断③．

解答 解：将方程中的x换成-x，y换成-y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；
将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y⁴+x²=1与原方程不同，故②错误；
在曲线C上任取一点M（x₀，y₀），x₀⁴+y₀²=1，
∵|x₀|≤1，
∴x₀⁴≤x₀²，
∴x₀²+y₀²≥x₀⁴+y₀²=1，即点M在圆x²+y²=1外，
故③正确；
故正确的结论的序号是：①③，
故答案为：①③

点评 本题考查的知识点是曲线Cx⁴+y²=1的图象和性质，对称性的判断，面积的求解，难度中档．